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量子力学、物理数学３（グリーン関数）、固体物理学、原子核物理学、素粒子物理学
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「代数及び幾何Ⅰ,II」の内容と、マクスウェル方程式程度の数学（偏微分と線積分）を理解していることが望ましい。
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複素関数論は物理数学の中でも特に美しい分野で、正則性(複素微分可能性)を課すことが非常に強い制限となってコーシー=リーマン方程式、積分定理と積分公式、留数定理や級数展開、解析接続など種々の非自明な結果が従います。
物理定数や現実世界の拘束を受けず人間の知性のみで構築された水晶の建築物のようなこの理論を、複素数の導入からリーマン予想まで端的に紹介します。
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● 複素数および複素関数の基本的な性質が理解できる。
● 複素関数の微積分ができる。
● 留数定理を実定積分の評価に応用できる。
● 多価関数とリーマン面の基本的な性質が理解できる。
フーリエ変換（物理数学１）、ガンマ関数（物理数学２）、グリーン関数の評価（物理数学３）では複素関数論が必要ですので、該当者にとっては必修です。
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理学部ディプロマ・ポリシーにある「自然科学の基幹領域に関する基礎知識とそれを基にした思考力」
を習得するための科目である。
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複素関数， 正則関数， 留数定理， 多価関数, コーシーの積分定理, 積分公式, 逆ラプラス変換, ブロムウィッチ積分, ゼータ関数, リーマン予想
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これまでは、もっぱら実関数の解析学を使ってきましたが、本講義では複素数の関数を扱います。微分可能な複素関数がもつ著しい性質を学び、正則関数と有理型関数の基本的な性質を概観します。
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授業1回あたり合計４時間の事前準備・事後展開学修が目安である。
復習を中心に行うこと。講義はそれ以前の内容を理解していることを前提に行う。
適宜課題レポートを課す。それらについては必ず復習すること。
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※様子を見て内容を取捨・補足・前後させることがあります。
1. 導入，複素平面と極形式
2. 複素関数の微分と正則関数
3. 多項式と指数関数、三角関数
4. 複素関数の積分
5. コーシーの積分定理
6. コーシーの積分公式
7. 留数定理
8. 実積分への応用（三角関数型，フーリエ型など）
9. 主値積分
10. 多価関数の積分
11. 複素数のべき展開
12. ローラン展開
13. 解析接続
14. 逆ラプラス変換とブロムウィッチ積分
15. ゼータ関数とリーマン予想（補遺）
16. 期末試験
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レポート（３６％）と期末試験（６４％）で評価する。
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成績評価基準
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埼玉大学単位修得の認定に関する規則に基づき、履修者が授業の到達目標をどれだけ達成したかに応じて以下の通り評価する。
「到達目標を超え、全般的に特に秀でている」 =GP:4 = S
「到達目標を超えており、部分的に秀でている」 =GP:3.5=A+
「到達目標を超えている」 =GP:3 = A
「到達目標に十分達しており、部分的に秀でている」 =GP:2.5=B+
「到達目標に十分達している」 =GP:2 = B
「到達目標に最低限達しており、部分的に B 以上の水準にある」=GP:1.5=C+
「到達目標に最低限達している」 =GP:1 = C
「到達目標に達していない」 =GP:0 = D
「到達目標の達成度を測る材料がない」 =GP:0=F
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複素関数の性質を理解することで解析関数に対する見方が一新することでしょう。応用面では、実定積分の計算手法を拡大するとともに、微分方程式を解いたり、特殊関数を定義したりするための統一的な見通しを与えてくれることでしょう。講義に出席しノートを取るだけでは問題が解けるようにはなりません。複素関数論は物理学諸分野の理解に不可欠な内容なので、講義と並行して各自問題演習を行い、ひとつずつマスターしていくようにしてください。
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mjsyang_AT_mail.saitama-u.ac.jp
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